Galois
Évariste Galois (urodzony 1811 roku w Bourg‑la‑Reine, śmierć 1832 roku w Paryżu) był francuskim matematykiem, którego prace zrewolucjonizowały algebrę i dały początek teorii grup oraz teorii Galois. Jego krótkie, acz intensywne życie oraz tragiczna śmierć w pojedynku szpadlowym przeszły do legendy.
Biografia
Galois pochodził z rodziny z Kursów, które w latach 1798–1800 przeniosły się do Francji. W wieku dziesięciu lat rozpoczął edukację w liceum, a już w wieku czternastu ukończył Lycée Louis‑le‑Grand, wykazując wyjątkowy talent w matematyce.
W 1829 roku podjął studia na École Polytechnique, ale został wydalony z powodu udziału w rewolucyjnych demonstracjach. Po powrocie do Paryża próbował uzyskać miejsce w École Normale Supérieure, jednak jego próby nie powiodły się.
Działalność naukowa
Galois jest najbardziej znany z opracowania metod, które pozwoliły rozwiązać problemy związane z równaniami wielomianowymi stopnia wyższego niż cztery. W swoim krótkim dorobku (pisanym głównie w listach i artykułach przesyłanych do Akademii Nauk) wprowadził pojęcia:
- grupy – struktury opisujące symetrie przekształceń pierwiastków wielomianów,
- ciała – struktury algebraiczne zawierające operacje dodawania i mnożenia,
- rozszerzenia ciał – badanie, jak jedno ciało może być rozszerzone o nowe elementy,
- konstrukcje geometryczne – dowody niemożliwości konstruowania niektórych punktów przy użyciu jedynie linijki i cyrkla.
Podstawową ideą jego teorii było powiązanie struktury grupy automorfizmów rozszerzenia ciała z własnościami rozwiązywalności wielomianu. Umożliwiło to sformalizowanie kryteriów, kiedy równanie można rozwiązać za pomocą działań algebraicznych (pierwiastków) i kiedy nie.
Teoria Galois
Główne twierdzenia teorii Galois (sformułowane w latach 1830–1832) można przedstawić w następujących punktach:
- Do każdego rozszerzenia ciała skończenie wymiernego istnieje grupa Galois, składająca się z automorfizmów pola, które zachowują elementy bazy ciała podstawowego.
- Podgrupy normalne tej grupy odpowiadają podrozszerzeniom normalnym, a indeks podgrupy jest równy stopniowi odpowiedniego rozszerzenia.
- Równanie wielomianowe jest rozwiązywalne przez pierwiastki, jeśli i tylko jeśli jego grupa Galois jest rozwiązalna (tj. posiada rozkład w grupy cykliczne).
Dzięki tym wynikkom, w 1849 roku Niels Henrik Abel oraz później Paolo Ruffini i inni potwierdzili niemożliwość rozwiązania ogólnego równania piątego stopnia przy użyciu radykacji, co było jednym z najważniejszych osiągnięć XIX‑wiecznej matematyki.
Śmierć i dziedzictwo
Galois zmarł w wyniku ran odniesionych w pojedynku szpadlowym w Paryżu 31 maja 1832 roku. Legenda głosi, że noc przed śmiercią napisał listy do przyjaciół, w których zawarł najważniejsze wyniki swojej pracy; te listy zostały później opublikowane i stały się podstawą nowoczesnej teorii grup i teorii ciał.
Współcześnie teoria Galois jest podstawą kryptografii, kodowania, a także wielu dziedzin fizyki i chemii, gdzie symetrie grupowe odgrywają kluczową rolę. Liczne instytuty i nagrody noszą jego imię, a jego życie i twórczość pozostają inspiracją dla pokoleń matematyków.