Ring (matematyka)
Ring (pol. pierścień) – podstawowa struktura algebraiczna w algebrze, będąca zbiorem wyposażonym w dwa wewnętrzne działania: dodawania i mnożenia, które spełniają określone aksjomaty. Pierścienie odgrywają kluczową rolę w teorii liczb, geometrii algebraicznej oraz w wielu gałęziach matematyki.
Definicja
Niech R będzie niepustym zbiorem. R jest pierścieniem, jeśli istnieją dwa działania binarne
- dodawanie
+: R × R → R, - mnożenie
·: R × R → R,
spełniające następujące warunki:
- Grupa abelowa względem dodawania – (R, +) jest grupą abelową. W szczególności istnieje element neutralny 0 (zero) oraz element przeciwny -a dla każdego a ∈ R.
- Monoid względem mnożenia – (R, ·) jest półgrupą (associatywna). Jeśli w pierścieniu istnieje element neutralny względem mnożenia, nazywany jest on jednostką i oznaczany 1, wtedy mówimy o pierścieniu jednostkowym.
- Rozdzielność – mnożenie rozdziela się względem dodawania:
- a·(b + c) = a·b + a·c,
- (a + b)·c = a·c + b·c dla wszystkich a, b, c ∈ R.
Jeśli dodatkowo mnożenie jest przemienne (a·b = b·a), mówimy o pierścieniu przemiennym. Przykładem pierścienia nieprzemiennego jest pierścień macierzy kwadratowych M_n(F) nad ciałem F.
Podstawowe przykłady
- Liczby całkowite (ℤ) – najprostszy pierścień przemienny z jedynką.
- Liczby wymierne (ℚ) oraz liczby rzeczywiste (ℝ) i liczby zespolone (ℂ) – wszystkie są pierścieniami przemiennymi, a jednocześnie ciałami.
- Pierścień macierzy kwadratowych M_n(F) nad dowolnym ciałem F – przykład pierścienia nieprzemiennego (dla n ≥ 2).
- Pierścień wielomianów F[x] nad ciałem F – ważny w algebrze abstrakcyjnej.
- Pierścienie resztowe ℤ/nℤ (pierścienie modularne) – odgrywają istotną rolę w kryptografii i teorii liczb.
Podpierścienie i homomorfizmy
Podzbiór S ⊆ R jest podpierścieniem R, jeżeli S jest zamknięty względem obu działań i sam w sobie spełnia aksjomaty pierścienia (z elementem neutralnym 0 odziedziczonym od R). Przykładem jest podpierścień ℤ w ℚ.
Homomorfizm pierścieni to funkcja φ : R → S spełniająca
- φ(a + b) = φ(a) + φ(b),
- φ(a·b) = φ(a)·φ(b),
- oraz φ(1_R) = 1_S (jeśli pierścienie mają jedynki).
Jądro homomorfizmu, czyli zbiór elementów mapowanych na 0_S, jest idealem w R, natomiast obraz homomorfizmu jest podpierścieniem w S.
Ideale i ilorazowe pierścienie
Ideał I w pierścieniu R to podzbiór, który jest podgrupą dodatnią względem + i spełnia
- a·i ∈ I oraz i·a ∈ I dla wszystkich a ∈ R, i ∈ I.
Ideale umożliwiają konstrukcję ilorazowych pierścieni R/I, które dziedziczą strukturę pierścienia. W szczególności, ideały pierwsze dają pierścienie całkowite dziedziny całkowitości, a ideały maksymalne – ciała.
Klasyfikacja i ważne klasy pierścieni
- Pierścienie przemienne z jedynką – najczęściej badane w algebrze abstrakcyjnej.
- Pierścienie dziedzinowe całkowitości (ang. integral domains) – brak dzielników zero.
- Pierścienie jednorodne (ang. principal ideal domains, PID) – każdy ideał jest generowany przez jeden element.
- Pierścienie unikalnego rozkładu na czynniki pierwsze (UFD) – każdy element (poza jednostkami i zero) ma rozkład na czynniki pierwsze, jedyny z dokładnością do kolejności i jednostek.
- Pierścienie Noethera – każdy rosnący ciąg ideałów stabilizuje się; równoważnie, każdy ideał jest skończenie generowany.
Zastosowania
Pierścienie znajdują zastosowanie w:
- kryptografii – np. pierścienie modularne ℤ/nℤ w algorytmach RSA i eliptycznych krzywych.
- algebrze liniowej – macierze tworzą pierścień, a pojęcie modulów nad pierścieniem jest uogólnieniem wektorowych przestrzeni.
- topologii algebraicznej – koło (ang. cohomology ring) struktury współczynnikowych.
- kombinatoryce – pierścienie formalne (np. pierścień funkcji generujących).
- logiki matematycznej – algebry Boole'a jako szczególny przypadek pierścieni.
Powiązane pojęcia
Warto zapoznać się także z następującymi pojęciami:
- ciało – pierścień, w którym każdy niezerowy element ma odwrotność względem mnożenia.
- moduł – uogólnienie pojęcia przestrzeni wektorowej, w którym skalary pochodzą z pierścienia.
- algebra – struktura łącząca pojęcia pierścienia i wektora.
- ideał i iloraz – podstawowe konstrukcje w teorii pierścieni.
Historia
Pierścienie wyłoniły się w XIX wieku w pracach Richarda Dedekinda i Davida Hilberta, a ich formalna definicja została ugruntowana w latach 30. XX wieku przez Emmy Noether, której wkład w rozwój teorii pierścieni i modułów jest powszechnie uznawany.