Sine (sinus)

Sine (łac. sinus) – jedna z podstawowych funkcji trygonometrycznych, opisująca stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej do kąta kąta w trójkącie prostokątnym do długości jego przeciwprostokątnej. W matematyce funkcja sinus jest definiowana nie tylko w geometrii euklidesowej, ale także jako element analizy zespolonej i teorii Fouriera.

Definicje

Definicja geometryczna

Jeśli w trójkącie prostokątnym trójkącie prostokątnym kąt przy wierzchołku A ma miarę α, to

sin α = \dfrac{przeciwprostokątna\_przeciwległa}{przeciwprostokątna}

Definicja analityczna (ciągła)

Funkcję sinus definiuje się jako jedną z rozwiązań równania różniczkowego

f''(x) + f(x) = 0, f(0)=0, f'(0)=1

co prowadzi do szeregu potęgowego

sin x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Definicja zespolona

Dla liczby zespolonej z funkcję sinus definiuje się jako

sin z = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2 i}

gdzie e jest podstawą logarytmu naturalnego, a i jednostką urojoną. To połączenie z funkcją wykładniczą zostało sformalizowane już w XVIII w. przez Leonarda Eulera.

Podstawowe własności

• Okresowość: sin(x + 2π) = sin x – okres wynosi π · 2.
• Parzystość: funkcja sinus jest nieparzysta: sin(−x) = −sin x.
• Maksima i minima: maksima równe 1 występują w punktach x = π/2 + 2kπ, minima równe −1 w x = 3π/2 + 2kπ (k∈ℤ).
• Pochodna i całka: (sin x)' = cos x, ∫ sin x dx = −cos x + C.
• Twierdzenie Pitagorasa: dla każdego x zachodzi sin² x + cos² x = 1.

Zastosowania

Funkcja sinus odgrywa kluczową rolę w wielu dziedzinach:

• Fizyka: opisuje drgania harmoniczne, fale dźwiękowe i elektromagnetyczne, ruchy oscylacyjne (np. w wahadle).
• Inżynieria: analiza sygnałów, przetwarzanie cyfrowe, kontrola systemów dynamicznych.
• Matematyka: rozwinięcia w szereg Fouriera, transformata Fouriera, rozwiązania równań różniczkowych.
• Geodezja i nawigacja: wyznaczanie współrzędnych, pomiary kątów w układzie współrzędnych sferycznych.

Historia

Wczesne obserwacje zależności między kątem a stosunkiem boków w trójkącie pochodzą od starożytnych cywilizacji (np. Egipt, Babilon). Pierwsze formalne tablice sinusów zostały opracowane w Indiach w VII w. przez Aryabhata I. Termin „sinus” pochodzi od łacińskiego tłumaczenia arabskiego słowa jiba, które w rzeczywistości było skrótem od sanskryckiego jya‑ardha („połówka przyprostokątnej”).

W Europie medycyny i astronomii sinusy zostały wprowadzone w średniowieczu, a ich rozwój przyspieszył po publikacji dzieła Tractatus de Sinibus w XV w. przez Johanna Rabba. Z kolei rozwój analityczny, zwłaszcza w kontekście szeregów potęgowych, zawdzięczamy Johannowi Bernoulliemu i Leonardowi Eulerowi.

Wzory przekształcające

Wzór	Opis
sin(α ± β)	sinus sumy lub różnicy: sin α cos β ± cos α sin β
sin(2α)	podwojona kąt: 2 sin α cos α
sin⁻¹(x)	funkcja odwrotna – arcus sinus (arcsin)

Powiązane pojęcia

Więcej informacji można znaleźć w następujących artykułach:

• Funkcja trygonometryczna
• Cosinus (cos)
• Tangens (tg)
• Analiza zespolona
• Szereg Fouriera

Bibliografia

1. J. Bernoulli, Historia funkcji trygonometrycznych, 1695.
2. L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748.
3. J. Kelley, Trigonometric Functions, Oxford University Press, 2002.

Artykuł opracowano w oparciu o dostępne źródła encyklopedyczne oraz literaturę specjalistyczną.