Dodawanie

Dodawanie (z łac. addere „przyłączać”) to podstawowa operacja arytmetyczna polegająca na łączeniu dwóch lub więcej liczb w jedną liczbę, zwaną sumą. Jest pierwszą z czterech działań matematyki elementarnej, obok odejmowania, mnożenia i dzielenia. W systemie dziesiętnym opisuje ją znak „+”.

Historia

Pierwsze zapisy operacji dodawania pochodzą z epoki starożytnego Egiptu (ok. 3000 p.n.e.), gdzie używano hieroglifów do sumowania zasobów. W Bliskim Wschodzie (ok. 2000 p.n.e.) rozwinięto system znaków sumujących w tablicach glinianych. W starożytnej Grecji matematyk Euklides (ok. III w.) sformalizował własności dodawania w swoim Elementach. Rozwój notacji w formie symbolicznej przypisuje się Françoisowi Viète'owi (1591 roku) oraz później Johannowi Fabriemu (1654 roku), który wprowadził znak „+”.

Podstawowe własności

Łączność (asocjatywność) – (a + b) + c = a + (b + c)
Komutatywność – a + b = b + a
Element neutralny – liczba zero spełnia a + 0 = a
Element przeciwny – dla każdej liczby całkowitej a istnieje liczba -a, taka że a + (-a) = 0

Rodzaje liczb i systemy liczbowe

Dodawanie definiuje się najpierw dla liczb naturalnych, a następnie rozszerza na liczby całkowite, rzeczywiste i złożone. W zależności od systemu liczbowego (dziesiętny, dwójkowy, szesnastkowy itp.) procedura dodawania różni się jedynie sposobem przenoszenia (ang. carry).

Metody i algorytmy

Algorytm tradycyjny (pisany w kolumnach)

1. Ustaw liczby jedna pod drugą, wyrównując pozycje jedności.
2. Dodawaj kolumny od prawej do lewej, zapisując sumę i przenosząc ewentualny carry do kolejnej kolumny.
3. Kontynuuj aż do uzyskania wyniku końcowego.

Algorytmy cyfrowe

W komputerze zastosowanie znajdują algorytmy oparte na operacjach bitowych, np. metoda pełnej sumy (ang. full adder) oraz algorytm Karatsuby w przypadku dużych liczb.

Dodawanie w arytmetyce modularnej

W systemie arytmetyki modularnej definiuje się a ⊕ b = (a + b) mod n, co jest kluczowe w kryptografii (np. krzywe eliptyczne) oraz w algorytmach hash.

Zastosowania

Podstawowe operacje w algorytmach i programowaniu.
Obliczenia w fizyce (np. sumowanie wektorów, energia kinetyczna).
Statystyka – sumowanie obserwacji, obliczanie średniej arytmetycznej.
Finanse – sumowanie transakcji, wyliczanie przychodów i kosztów.
Inżynieria – analiza sygnałów, sumowanie elementów w układach elektrycznych.

W edukacji

Dodawanie jest wprowadzane w przedszkolu i wczesnych klasach szkoły podstawowej w ramach pedagogiki matematycznej. Popularne są materiały dydaktyczne, takie jak liczydła, tabliczki mnożenia oraz gry komputerowe uczące liczb naturalnych.

Związane pojęcia

Do najważniejszych pojęć pokrewnych należą: arytmetyka, równania, równania liniowe, działanie, operacja binarna, przeniesienie (carry).

Przykłady

        1.  147 + 263 = 410
        2.  (5 + 7) + 12 = 5 + (7 + 12) = 24
        3.  1011₂ + 110₁₀ = 1011₂ + 0110₂ = 10001₂ (wynik w systemie dwójkowym)