Hamiltonian

Hamiltonian (z ang. Hamiltonian) – pojęcie centralne w fizyce teoretycznej i matematyce, które występuje w kilku pokrewnych, lecz odrębnych kontekstach: w mechanice klasycznej, w mechanice kwantowej, a także w teorii grafów. Słowo pochodzi od nazwiska irlandzkiego fizyka i matematyka Williama Rowana Hamiltona, który w latach 30. XIX wieku wprowadził formułę opisującą dynamikę układów fizycznych.

Definicja w mechanice klasycznej

W mechanice klasycznej Hamiltonian H jest funkcją określającą całkowitą energię układu w przestrzeni fazowej. Dla układu o współrzędnych uogólnionych q_i i odpowiadających im pędach uogólnionych p_i przyjmuje postać

H(q_1,\dots,q_n, p_1,\dots,p_n, t) = T(p_1,\dots,p_n) + V(q_1,\dots,q_n, t)

gdzie T jest energią kinetyczną wyrażoną w zależności od pędów, a V – energią potencjalną zależną od położeń. Równania Hamiltona, zwane równaniami Hamiltona-Jacobiego, opisują ewolucję układu w czasie:

\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}.
    

Tak sformułowane równania są równoważne równaniom Lagrange'a, ale przynoszą liczne korzyści przy analizie układów o symetrii oraz przy przejściu do teorii kwantowej.

Hamiltonian w mechanice kwantowej

W mechanice kwantowej Hamiltonian jest operatorem Ĥ działającym na funkcję falową ψ. Operator ten odpowiada całkowitej energii układu i odgrywa kluczową rolę w równaniu Schrödingera:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf r,t) = \hat H\,\psi(\mathbf r,t).
    

Dla cząstki w potencjale V(\mathbf r) operator przyjmuje najczęściej postać

\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf r),
    

gdzie pierwszy człon jest operatorem kinetycznej energii (zależnym od Laplasjanu), a drugi – operatorem potencjalnej energii. Spektrum własnych wartości Ĥ wyznacza dozwolone stany energetyczne układu.

Hamiltonian w teorii grafów

W teorii grafów pojęcie Hamiltonian odnosi się do cyklu Hamiltona – cyklu prostego przechodzącego przez wszystkie wierzchołki grafu dokładnie raz. Graf, w którym taki cykl istnieje, nazywany jest grafem Hamiltona. Problem znajdowania cyklu Hamiltona należy do klasy problemów NP‑zupełnych i ma liczne zastosowania w optymalizacji tras, planowaniu produkcji oraz w algorytmach kryptograficznych.

Historia

Idea opisująca układ fizyczny przy pomocy funkcji energii sięga XIX wieku. William Rowan Hamilton sformułował równania dynamiki w formie nowej, tak zwanej mechaniki Hamiltona, publikując je w 1833 r. Później, w początkach XX wieku, pojęcie to zostało przeniesione do sfery kwantowej przez Erwina Schrödingera i Wernera Heisenberga, a w latach 50. XX wiecznia stało się fundamentem w rozwoju teorii pola i teorii many‑ciał.

Zastosowania

• Analiza stabilności i chaosu w układach dynamicznych przy użyciu formalizmu Hamiltona.
• Obliczenia energetyczne w chemii kwantowej – metoda gęstości elektronowej opiera się na operatorze Hamiltona.
• Projektowanie algorytmów optymalizacyjnych (np. problem komiwojażera) przy użyciu cyklu Hamiltona.
• Modelowanie układów wielu ciał w astrofizyce i fizyce ciała stałego.

Powiązane pojęcia

Energia, Pęd, Układ kanoniczny, Równanie Hamiltona-Jacobiego, Operator Hermitego, Symetria.