encyklopedia.space

Kohomologia

Kohomologia (z greckiego co‑ „wspólnie” oraz homologia) – dział topologii algebraicznej zajmujący się badaniem własności przestrzeni topologicznych przy pomocy grup, które opisują „przeciwwagę” do homologii. Kohomologie dostarczają potężnych narzędzi do klasyfikacji przestrzeni, badania ich struktury oraz rozwiązywania problemów z zakresu geometrii algebraicznej, teorii wiązek czy fizyki teoretycznej.

Definicja

W najogólniej sformułowanej postaci kohomologia jest funkcją (tzw. funktorem) przypisującą każdej przestrzeni topologicznej X ciąg grup abelowych Hⁿ(X;G), gdzie n oznacza stopień kohomologii, a G jest grupą współczynników (zazwyczaj ℤ, ℚ lub ℤₙ). Zbudowane są one jako dualne do grup homologii poprzez ciąg dokładny lub jako klasy równoważności pewnych cocykli.

Historia

Pierwsze próby sformułowania kohomologii pojawiły się w latach 30. i 40. XX wieku w pracach Samuela Eilenberga i Saundersa MacLanea. Rozwój teorii przyspieszył wraz z wprowadzeniem kohomologii Čecha i kohomologii de Rham’a w latach 50. XX wieku, a następnie kohomologii singularnej i teorii spektrołów w latach 60. i 70.

Główne rodzaje kohomologii

Kohomologia singularna

Najbardziej uniwersalny rodzaj kohomologii, definiowany przy pomocy singularnych simplexów. Dla każdej topologicznej przestrzeni X oraz grupy współczynników G otrzymujemy grupy Hⁿ_sing(X;G).

Kohomologia Čecha

Definiowana przy pomocy otwartych pokryć przestrzeni i ich nerwu. Jest szczególnie przydatna w badaniu przestrzeni nieparaczkowych i w teorii przestrzeni Hausdorffa.

Kohomologia de Rham’a

Stosowana w kontekście różniczkowych form na rozmaitościach różniczkowych. W wersji klasycznej grupy Hⁿ_{dR}(M) są izomorficzne z grupami homologii singularnej z rzeczywistymi współczynnikami (twierdzenie de Rhama).

Kohomologia grup

Dotyczy grup (jako obiektów algebraicznych) i jest definiowana przy pomocy modułów i rozszerzeń grup. Grupy kohomologii Hⁿ(G;A) klasyfikują rozszerzenia grupy G przez moduł A.

Zastosowania

  • Klasyfikacja rozmaitości – dzięki kohomologii de Rham’a i singularnej można odróżnić nieizomorficzne rozmaitości, np. sferę S² i torus T².
  • Obliczenia charakterystycznych klas – takie jak klasy Chern’a, klasy Stiefela czy klasy Pontryagina, które odgrywają kluczową rolę w teorii charakterystycznej.
  • Teoria sprzężenia Poincaré’a – izomorfizm pomiędzy grupami homologii a kohomologii w wymiarach komplementarnych.
  • Fizyka teoretyczna – w teorii pola, w szczególności w teorii gauge’ów, gdzie klasy kohomologiczne opisują topologiczne własności pól.
  • Algebra homotopowa – np. ciągi spektralne wykorzystują kohomologie do obliczania homotopii.

Związane pojęcia

Do najważniejszych pojęć powiązanych z kohomologią należą:

Przykłady obliczeń

Kohomologia singularna sfery S²:

H⁰(S²;ℤ) ≅ ℤ
H¹(S²;ℤ) = 0
H²(S²;ℤ) ≅ ℤ
Hⁿ(S²;ℤ) = 0   dla n > 2

Kohomologia de Rham’a torusa T²:

H⁰_{dR}(T²) ≅ ℝ
H¹_{dR}(T²) ≅ ℝ²
H²_{dR}(T²) ≅ ℝ
Hⁿ_{dR}(T²) = 0   dla n > 2

Literatura

  • Allen Hatcher, Algebraic Topology – klasyczny podręcznik (część omawiana w artykule Topologia algebraiczna).
  • J. W. Milnor, Characteristic Classes – szczegółowe omówienie zastosowań kohomologii w geometrii.
  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds – rozdział o kohomologii de Rham’a.

Artykuł został zredagowany na podstawie dostępnych źródeł encyklopedycznych oraz literatury naukowej. W razie potrzeby można uzupełnić go o dalsze szczegóły dotyczące konkretnych technik obliczeniowych, takich jak ciągi spektralne czy kohomologia siatkowa (sheafowa).