Liczy obfite

Liczy obfite (ang. abundant numbers) – to liczby naturalne zdefiniowane jako takie, których suma wszystkich dodatnich dzielników właściwych (czyli pomijając samą liczbę) jest większa od jej wartości. Inaczej mówiąc, liczba n jest obfita wtedy i tylko wtedy, gdy

σ(n) − n > n,

gdzie σ(n) oznacza sumę wszystkich dzielników dodatnich liczby n. Jeśli równość zachodzi, mówimy o liczbie doskonałej, a jeśli suma jest mniejsza – o liczbie niedobnej.

Historia

Pierwsze badania nad liczbami obfitymi pochodzą z czasów starożytnych Greków. Już Euklides w swoim dziele „Elementy” wspominał o liczbach, w których suma dzielników przewyższała samą liczbę. W XVIII wieku matematycy tacy jak Leonhard Euler i Pierre de Fermat rozwinęli teorię funkcji sumy dzielników σ(n) i klasyfikowali liczby bogate w różne właściwości. W XIX wieku G. H. Hardy i S. Ramanujan badali powiązania między liczbami obfitymi a tzw. liczbami perfekcyjnymi i przyczynili się do powstania teorii liczb przyjaznych.

Właściwości

Każda liczba pierwsza jest liczbą niedobną, ponieważ jedynym jej dzielnikiem własnym jest 1.
Jeśli n jest liczbą obfitą, to każdy jej wielokrotność k·n (dla k ≥ 2) również jest liczbą obfitą.
Najmniejszą liczbą obfitą jest 12, ponieważ dzielniki właściwe 12 to 1, 2, 3, 4, 6, a ich suma wynosi 16 > 12.
Wszystkie liczby większe od 20161 są liczbami obfitymi lub doskonałymi; w praktyce zestaw liczb niedobnych staje się coraz rzadszy.
Istnieją nieskończenie wiele liczb obfitych – dowód tego faktu został podany już w XIX wieku.

Przykłady liczb obfitych

Poniżej przedstawiono pierwsze kilkanaście liczb obfitych oraz ich sumy dzielników właściwych:

Liczba	Dzielniki właściwe	Suma dzielników	Różnica (σ‑n)
12	1, 2, 3, 4, 6	16	4
18	1, 2, 3, 6, 9	21	3
20	1, 2, 4, 5, 10	22	2
24	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12	36	12
30	1, 2, 3, 5, 6, 10, 15	42	12
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18	55	19
40	1, 2, 4, 5, 8, 10, 20	50	10
42	1, 2, 3, 6, 7, 14, 21	54	12
48	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24	76	28
54	1, 2, 3, 6, 9, 18, 27	66	12

Związek z innymi klasami liczb

Liczy obfite stoją w kontrze do liczb doskonałych i liczb niedobnych. Wśród liczb pierwszych nie ma żadnych obfitych, natomiast liczby złożone z dużą liczbą małych dzielników często okazują się obfite. Przy badaniu ciągu Fibonacciego odkryto, że niektóre wyrazy tego ciągu (np. 144) są liczbami obfitymi.

Zastosowania

Choć liczby obfite nie mają bezpośrednich zastosowań praktycznych w inżynierii, odgrywają istotną rolę w:

Teorii liczb – w szczególności przy badaniu rozkładu dzielników i własności funkcji arytmetycznych.
Algorytmach kryptograficznych – analiza wielokrotności liczb obfitych pomaga ocenić bezpieczeństwo niektórych schematów opartych na faktoryzacji.
Modelowaniu ekonomicznym – metaforyczne użycie pojęcia „obfitości” przy analizie podziału zasobów.

Wzory i algorytmy

Do wyznaczania, czy dana liczba n jest obfita, wykorzystuje się najczęściej algorytm polegający na:

Wyznaczeniu wszystkich dzielników właściwych liczby n (np. przy pomocy faktoryzacji pierwszej).
Obliczeniu ich sumy S = ∑_{d|n, d d.}
Porównaniu S z n: jeśli S > n, liczba jest obfita.

Przyszłe badania

Obecnie trwają prace nad hipotezą Erdősa dotyczącą gęstości liczb obfitych w przedziale [1, x]. Badacze starają się również znaleźć nowe klasyfikacje liczb, które łączą cechy liczb obfitych i idealnych w kontekście teorii pierścieni.