Macierz

Macierz – uporządkowany prostokątny układ liczb (lub elementów innych zbiorów), które układane są w wiersze i kolumny. Macierze stanowią podstawowy obiekt w algebrze liniowej, a także w wielu dziedzinach matematyki i nauk przyrodniczych, takich jak fizyka, chemia, informatyka czy statystyka.

Definicja i zapis

Jeżeli liczba wierszy macierzy wynosi m, a liczba kolumn n, mówimy o macierzy o wymiarach m×n i zapisujemy ją w postaci

        A = \begin{pmatrix}
                a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\
                a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\
                \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
                a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn}
            \end{pmatrix},
    

gdzie a_{ij} jest elementem znajdującym się w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Najczęściej rozpatruje się macierze rzeczywiste (a_{ij}∈ℝ) oraz zespolone (a_{ij}∈ℂ).

Rodzaje macierzy

• Macierz kwadratowa – macierz o tym samym liczbie wierszy i kolumn (m=n).
• Macierz diagonalna – kwadratowa macierz, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są zerami.
• Macierz jednostkowa (oznaczana Iₙ) – diagonalna macierz o jedynkach na przekątnej.
• Macierz górna trójkątna – macierz, w której wszystkie elementy pod główną przekątną są zerami.
• Macierz dolna trójkątna – macierz, w której wszystkie elementy nad główną przekątną są zerami.
• Macierz szeregowa – macierz, w której wszystkie elementy poza jedną wierszem (lub jedną kolumną) są zerami.
• Macierz symetryczna – kwadratowa macierz spełniająca równanie A=Aᵀ.
• Macierz antysymetryczna (skew‑symetryczna) – macierz, dla której Aᵀ=-A.

Podstawowe operacje

Dodawanie i odejmowanie

Macierze o tych samych wymiarach można dodać (lub odjąć) element po elemencie:

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.

Mnożenie przez skalar

Jeżeli λ jest liczbą (skalar), to (λA)_{ij}=λ·a_{ij}.

Mnożenie macierzy

Dwie macierze A∈ℝ^{m×k} i B∈ℝ^{k×n} można pomnożyć, otrzymując macierz C∈ℝ^{m×n} o elementach

c_{ij}=∑_{r=1}^{k} a_{ir}·b_{rj}.

Mnożenie macierzy jest łączne, ale nie jest przemienne.

Transpozycja

Transpozycja macierzy A oznaczana jako Aᵀ polega na zamianie wierszy z kolumnami: (Aᵀ)_{ij}=a_{ji}.

Wyznacznik

Dla macierzy kwadratowej A∈ℝ^{n×n} definiuje się determinant det(A), który jest liczbą opisującą m.in. odwracalność macierzy (macierz odwracalna ⇔ det(A)≠0).

Macierz odwrotna

Macierz A odwracalna posiada macierz A^{-1} spełniającą AA^{-1}=A^{-1}A=Iₙ. Istnieje dokładnie wtedy, gdy det(A)≠0. Odwracanie macierzy można wykonać metodą eliminacji Gaussa, metodą przekształceń elementarnych lub przy pomocy macierzy dopełnień algebraicznych.

Rząd macierzy

Rząd (ang. rank) macierzy to wymiar przestrzeni generowanej przez jej wiersze (lub kolumny). Rząd określa m.in. liczbę niezależnych równań w systemie układzie równań liniowych.

Wartości własne i wektory własne

Dla macierzy kwadratowej A liczby λ spełniające równanie charakterystyczne det(A-λI)=0 nazywane są wartościami własnymi. Wektory v≠0, dla których Av=λv, są wektorami własnymi.

Zastosowania

• Reprezentacja liniowa przekształceń geometrycznych (np. obrotów, skalowań).
• Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą macierzową (np. metoda eliminacji Gaussa).
• Analiza metod numerycznych: wyznaczanie przybliżonych rozwiązań równań różniczkowych, optymalizacja.
• Modele w ekonomii (np. modele wejść‑wyjść Leontiefa), w teorii grafów (macierze sąsiedztwa).
• Przetwarzanie sygnałów i obrazów – operacje splotu, filtracji, transformacji Fouriera (macierze Fourierowskie).
• W informatyce: algorytmy grafowe, kryptografia (macierze w szyfrach liniowych), uczenie maszynowe (macierze danych, macierze wag neuronowych).

Historia

Początki użycia macierzy sięgają starożytnej Mezopotamii, gdzie wykorzystywano tablice do rozwiązywania równań liniowych. W XVIII wieku Arthur Cayley opracował formalną teorię macierzy, wprowadzając termin „matrix” w 1858 roku. W kolejnych dekadach macierze stały się centralnym narzędziem algebry liniowej i rozwinęły się w ramach teorii operatorów, reprezentacji grup i wielu obszarów matematyki współczesnej.

Powiązane pojęcia

Algebra liniowa, Wektor, Przestrzeń wektorowa, Transformacja liniowa, Rząd macierzy, Determinant, Układ równań liniowych.

Przykłady

Przykład 1 – Mnożenie macierzy. Niech

        A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\quad
        B = \begin{pmatrix}0&5\\6&7\end{pmatrix}.
    

Wówczas

        AB = \begin{pmatrix}
                1·0+2·6 & 1·5+2·7\\
                3·0+4·6 & 3·5+4·7
             \end{pmatrix}
           = \begin{pmatrix}12&19\\24&43\end{pmatrix}.
    

Przykład 2 – Wyznacznik macierzy 2×2. Dla macierzy A z powyższego przykładu

        det(A)=1·4-2·3=-2.
    

Bibliografia

1. G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 5th ed., Cengage Learning, 2016.
2. K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra, Prentice Hall, 1971.
3. A. Cayley, „A Memoir on the Theory of Matrices”, Philosophical Magazine, 1858.