Zbiór otwarty

Zbiór otwarty (ang. open set) jest podstawowym pojęciem w topologii oraz w przestrzeni metrycznej. Mówi się, że podzbiór X przestrzeni topologicznej przestrzeni topologicznej jest otwarty, jeśli należy do jej rodziny otwartych zbiorów, czyli elementu topologii definiującej tę przestrzeń.

Definicja

Niech przestrzeń topologiczna (X, τ) będzie zadana, gdzie τ jest rodziną podzbiorów X spełniającą aksjomaty topologii:

• ∅ oraz X należą do τ,
• dowolna (skończona lub nieskończenie) unia zbiorów z τ należy do τ,
• przecięcie skończonej liczby zbiorów z τ należy do τ.

Wtedy każdy element rodziny τ określany jest jako zbiór otwarty. Zbiór U ⊆ X jest otwarty, jeżeli U ∈ τ.

Charakterystyka w przestrzeni metrycznej

W przestrzeni metrycznej (X, d) topologia jest generowana przez otwarte kule. Dla punktu x ∈ X i promienia r > 0 definiuje się kulę otwartą:

B(x, r) = { y ∈ X : d(x, y) < r }

Zbiór U ⊆ X jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ U istnieje r > 0 takie, że B(x, r) ⊆ U. Taki warunek nazywa się otoczeniem punktu.

Własności zbiorów otwartych

• Unia dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarta.
• Przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest otwarte.
• Otwarty zbiór jest jednocześnie gęsty w swojej wnętrzu (jego wnętrze pokrywa się z samym zbiorem).
• Komplementem zbioru otwartego w przestrzeni topologicznej jest zbiór domknięty.

Przykłady

Przestrzeń euklidesowa ℝⁿ

W standardowej topologii na ℝⁿ (tzw. topologia euklidesowa) każdy otwarty przedział (a, b) oraz dowolny otwarty prostokąt, kula czy dowolny otwarty zbiór będący sumą takich elementów jest otwarty.

Topologia dyskretna

W topologii dyskretnej każdy podzbiór przestrzeni jest otwarty (i jednocześnie domknięty). Przykładem jest dowolny zbiór liczb całkowitych ℤ ze zwykłą metryką d(m,n)=|m-n|.

Topologia trywialna

W topologii trywialnej (zwanej także nieodzielną) jedynymi otwartymi zbiorami są ∅ i cała przestrzeń X.

Związek z innymi pojęciami

Zbiór otwarty jest ściśle powiązany z pojęciami takimi jak wnętrze i przegląd zbiorów. Wnętrze dowolnego zbioru A ⊆ X definiuje się jako największy otwarty podzbiór zawarty w A. Natomiast domknięcie A jest najmniejszym domkniętym zbiorem zawierającym A.

Historia

Pojęcie otwartości wywodzi się z prac Georga Cantora i Henri'ego Poincarégo z końca XIX ‑ początku XX wieku, kiedy to rozwijano teorię zbiorów i topologię ogólną. Formalna definicja topologii, a co za tym idzie otwartych zbiorów, została podana przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 r.

Przykładowe zastosowania

• Analiza funkcjonalna – otwartość jest kluczowa w definicjach ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi.
• Geometria różniczkowa – otwarte podzbiory rozmawianych rozmaitości stanowią lokalne „karty” używane w konstrukcji atlasów.
• Teoria miary – otwarte zbiory są wykorzystywane przy definiowaniu miary Borelowej i pojęcia mierzalności.

Literatura

• M. Kelley, General Topology, Springer, 1975.
• S. Willard, General Topology, Addison‑Wesley, 1970.
• J. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000.