Trapez

Trapez – czworokąt, w którym co najmniej jedna para przeciwległych boków jest równoległa. W języku angielskim odpowiada mu pojęcie trapezoid (w brytyjskiej odmianie: trapezium). Trapez należy do grupy figur geometrycznych zwanych czworokątami.

Definicja formalna

Niech ABCD będzie czworokątem, w którym odcinki AB i CD są równoległe (oznaczane jako podstawy). Wtedy ABCD jest trapezem. Para równoległych boków może być jedyną taką parą – w takim wypadku mówimy o trapezie ostrokątnym – lub obie pary boków mogą być równoległe, co przekształca trapez w równoległobok.

Rodzaje trapezów

Trapez równoramienny – mający nie‑równoległe boki równej długości. W takim trapezie kąty przy jednej podstawie są równe, a przekątne mają tę samą długość. Zobacz szczegóły.
Trapez prostokątny – posiadający co najmniej jeden kąt prosty. Jeden z nie‑równoległych boków jest prostopadły do obu podstaw. Zobacz szczegóły.
Trapez symetryczny – jest jednocześnie równoramienny i prostokątny, czyli jego nie‑równoległe boki są równe i prostopadłe do podstaw.
Trapez rozwartokątny – posiada kąt rozwarty przy jednej z podstaw.

Właściwości geometryczne

Podstawowe własności trapezu wynikają z faktu, że jego dwie boki są równoległe:

Sumy miar kątów przy jednej podstawie są równe 180° – kąt przystający.
Wysokość (oznaczana h) jest odcinkiem prostopadłym do obu podstaw i łączy je w najkrótszy sposób.
Środek (środkowa) łączący środki podstaw jest równoległy do nich i ma długość równą średniej arytmetycznej długości podstaw: m = (a + b)/2, gdzie a i b to długości podstaw.
Przekątne w trapezie ogólnie nie są równe, ale w trapezie równoramiennym mają taką samą długość.

Wzory

Najważniejsze wzory używane w obliczeniach związanych z trapezem:

Pole powierzchni: P = \frac{(a + b) \cdot h}{2} – a i b to długości podstaw, h to wysokość. Więcej o polu figury.
Obwód: O = a + b + c + d, gdzie c i d to długości boków nie‑równoległych. Zobacz obwód dla dalszych wyjaśnień.
Średnia długość podstaw: m = \dfrac{a + b}{2} – przydatna przy obliczaniu pola i przy zaokrąglaniu w praktycznych zastosowaniach.
Długość przekątnych: W trapezie równoramiennym przekątne mają długość: d_1 = d_2 = \sqrt{c^2 + \frac{(a-b)^2}{4}}. Dla ogólnego trapezu istnieją bardziej złożone wzory oparte na twierdzeniu Cosinusów.

Zastosowania praktyczne

Trapezy pojawiają się w architekturze (np. podziały fasad), w inżynierii (przy projektowaniu mostów) oraz w sztuce (kompozycje perspektywiczne). Ich proste własności ułatwiają obliczenia przy wyznaczaniu objętości brył powstałych przez przesunięcie lub obrót trapezu.

Historia

Pojęcie trapezu wywodzi się ze starożytnej Grecji. Już w Euklidesie (ok. 300 p.n.e.) w Elementach opisano własności czworokątów o jednej parze boków równoległych. W średniowieczu i renesansie trapezy były używane w geometrii projektowej, a w XIX wieku pojawiły się w podręcznikach szkolnych jako podstawowy przykład czworokąta nie będącego równoległobokiem.

Powiązane pojęcia

Przykłady obliczeniowe

Obliczmy pole trapezu o podstawach a = 8 cm i b = 5 cm oraz wysokości h = 4 cm:

P = ((8 + 5) * 4) / 2 = (13 * 4) / 2 = 52 / 2 = 26 cm²

Obwód tego trapezu, przy założeniu że nie‑równoległe boki mają długości c = 6 cm i d = 6 cm, wynosi:

O = 8 + 5 + 6 + 6 = 25 cm

Bibliografia

Euklides, Elementy, tłumaczenie polskie, wyd. 1995.
J. D. Coxeter, Geometry of the Plane, Oxford University Press, 1961.
K. Kowalski, Podstawy geometrii – podręcznik dla szkół średnich, PWN, 2020.

Artykuł pochodzi z Encyklopedii i ma charakter informacyjny.