Czworokąty
Czworokąt – to płaski wielokąt o czterech bokach i czterech wierzchołkach. Należy do rodziny wielokątów, a jego badanie jest jednym z podstawowych zagadnień geometrii płaszczyzny.
Podstawowe pojęcia
- Boki – odcinki łączące kolejne wierzchołki czworokąta.
- Kąty wewnętrzne – kąty przy wierzchołkach, których suma zawsze wynosi 360°.
- Przekątne – odcinki łączące dwa nieprzyległe wierzchołki. Każdy czworokąt ma dwie przekątne, które w ogólności się przecinają.
- Środek ciężkości (środek masy) – punkt przecięcia się przekątnych w czworokątach wypukłych, w szczególności w kwadracie i prostokącie.
Klasyfikacja czworokątów
Czworokąty dzielimy ze względu na długość boków, równość kątów oraz wzajemne położenie przekątnych.
W zależności od równoległości boków
- Trapez – przynajmniej jedna para boków jest równoległa.
- Romb – wszystkie boki równe; przeciwległe boki równoległe.
- Prostokąt – wszystkie kąty proste; przeciwległe boki równoległe i równe.
- Kwadrat – szczególny przypadek prostokąta i rombu: wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste.
- Deltoid (lub dwukąt) – dwie przyległe pary boków równej długości.
W zależności od wypukłości
- Czworokąt wypukły – wszystkie wewnętrzne kąty mniejsze niż 180°, a każdy odcinek łączący dwa dowolne punkty leży wewnątrz figury.
- Czworokąt wklęsły – istnieje co najmniej jeden kąt większy niż 180°. W takim czworokącie jedna z przekątnych leży poza figurą.
Własności geometrii euklidesowej
Dla dowolnego czworokąta wypukłego zachodzą następujące zależności:
- Suma miar kątów wewnętrznych wynosi 360°.
- Wzór Pitota: a + c = b + d, gdzie a, b, c, d to długości boków kolejno wzdłuż obwodu, jest prawdziwy tylko dla trapezów równoległobocznych i rombów.
- Twierdzenie Brahmagupty (dla czworokątów wpisanych w okrąg): p = √((s-a)(s-b)(s-c)(s-d)), gdzie s jest połową obwodu (s = (a+b+c+d)/2), a p – pole.
Pole czworokąta
Pole najczęściej liczy się za pomocą jednej z poniższych metod:
- Rozkład na dwa trójkąty przy użyciu jednej z przekątnych: P = ½·d₁·d₂·sin(α), gdzie d₁, d₂ – długości przekątnych, a α – kąt między nimi.
- Wzór Herona dla trójkątów po podziale czworokąta.
- Dla kwadratu i rombów pole można obliczyć jako P = a² (kwadrat) lub P = (d₁·d₂)/2 (romb).
- Dla prostokąta i trapezu: P = a·b (prostokąt) oraz P = (a+b)·h/2 (trapez), gdzie h – wysokość.
Zastosowania
Czworokąty pojawiają się w wielu dziedzinach:
- Architektura – planowanie budynków (np. prostokątne pokoje, trapezoidalne dachy).
- Grafika komputerowa – tworzenie modeli 3‑D przy pomocy siatek siatek (mesh) składających się z czworokątów i trójkątów.
- Inżynieria – analiza naprężeń w elementach o przekroju czworokątnym.
- Teoria grafów – wielokąty, w tym czworokąty, są podstawowymi cyklami w grafach planarnych.
Historia i literatura
Pierwsze badania nad czworokątami pochodzą od starożytnych Greków. Euclid w Elementach (ok. 300 p.n.e.) przedstawił twierdzenia dotyczące prostokątów i kwadratów. W średniowieczu arabscy matematycy, m.in. Al‑Khwārizmī, rozwijali metody obliczania pól czworokątów wpisanych i opisanych.
Powiązane pojęcia
Więcej informacji można znaleźć w następujących artykułach: