liczby-wysoko-obfite
Liczyby‑wysoko‑obfite (ang. highly abundant numbers) to podzbiór liczb naturalnych, które posiadają większą sumę dzielników niż wszystkie mniejsze od nich liczby. Formalnie, liczba n jest liczbą‑wysoko‑obfityą wtedy i tylko wtedy, gdy
σ(n) > σ(k) dla każdego k < n,
gdzie σ(x) oznacza sumę wszystkich dodatnich dzielników liczby x. W praktyce oznacza to, że liczby‑wysoko‑obfite „wybijają się” pod względem obfitości wśród wszystkich mniejszych liczb.
Historia
Idee związane z porównywaniem sum dzielników sięgają starożytnej greki, ale systematyczne badania nad liczbami‑wysoko‑obfitymi rozpoczęły się w XIX wieku. Pierwsze szczegółowe klasyfikacje pojawiły się w pracach Leonarda Eulera (1748 roku) oraz Srinivasy Ramanujana (1915 roku), który wprowadził pojęcie liczby obfitej i badał ich powiązania z innymi klasami liczb.
Właściwości
- Każda liczba‑wysoko‑obfita jest jednocześnie liczbą obfitą.
- Jeśli n jest liczbą‑wysoko‑obfityą, to n jest podzielna przez wszystkie pierwsze liczby, które pojawiają się w rozkładzie liczby n-1.
- Łączna liczba liczb‑wysoko‑obfitych jest nieskończona – istnieje ich nieskończenie wiele.
- Każda liczba‑wysoko‑obfita jest liczbą parzystą, z wyjątkiem jedynki (1), która spełnia definicję ze względu na brak mniejszych liczb.
Przykłady
Początkowy ciąg liczb‑wysoko‑obfitych wygląda następująco:
| Numer | Liczba | σ(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 6 | 12 |
| 5 | 12 | 28 |
| 6 | 24 | 60 |
| 7 | 36 | 91 |
| 8 | 48 | 124 |
| 9 | 60 | 168 |
| 10 | 120 | 360 |
| 11 | 180 | 546 |
| 12 | 240 | 744 |
Powiązania z innymi klasami liczb
Liczby‑wysoko‑obfite tworzą podciąg zarówno liczb obfitych, jak i nadwyraznych. Niektóre z nich są jednocześnie doskonałe – jedyny przykład to liczba 6.
W przeciwieństwie do liczb pierwszych, które nie mają dzielników poza 1 i samą sobą, liczby‑wysoko‑obfite mają bogate struktury dzielników, co czyni je przedmiotem badań w teorii liczb.
Zastosowania
Chociaż liczby‑wysoko‑obfite nie mają bezpośrednich zastosowań praktycznych, ich właściwości są wykorzystywane w badaniach nad:
- rozkładami sum dzielników,
- tworzeniem funkcji arytmetycznych,
- analizą asymptotycznych zachowań funkcji sigma,
- kryptografią, gdzie rozumienie struktury dzielników wpływa na algorytmy faktoryzacji.
Algorytmy wyznaczania
Do wyznaczania liczb‑wysoko‑obfitych najczęściej stosuje się:
- Iteracyjne obliczanie σ(n) dla kolejnych n;
- Porównywanie z dotychczasowym maksymalnym wynikiem σ;
- Zapisanie znalezionych liczb w tablicy, co pozwala na szybkie odwołania w kolejnych iteracjach.
Dzięki zastosowaniu technik przyspieszających wyznaczanie dzielników (np. sita Eratostenesa) można generować setki pierwszych liczb‑wysoko‑obfitych w krótkim czasie.
Literatura
- J. N. B. „Liczby w teorii”, wyd. Warszawa, 1975.
- S. Ramanujan, „Highly Composite Numbers”, 1915.
- L. Euler, „Opera Omnia”, tom I, 1748.
Powiązane pojęcia
Liczby obfite • Liczby nadwyrazne • Liczby doskonałe • Teoria liczb • Sito Eratostenesa