Reissner‑Nordström

Rozwiązanie Ogólnej teorii względności opisujące pole grawitacyjne i elektromagnetyczne wokół punktowego ładunku o masie M i ładunku elektrycznym Q. Rozwiązanie to zostało niezależnie opracowane w 1916 r. przez Hansa Reissnera oraz w 1918 r. przez Gustava Nordströma. Ze względu na połączenie pól grawitacyjnego i elektrostatycznego jest to najprostsze rozwiązanie czarnej dziury obdarzonej ładunkiem elektrycznym.

Historia

Hans Reissner opublikował pierwszą wersję rozwiązania w 1916 roku, a Gustav Nordström uzupełnił je w 1918. Pierwsze badania koncentrowały się na matematycznych własnościach metryki i jej granicach, natomiast dopiero w latach 1960‑ych pojawiły się interpretacje fizyczne w kontekście teorii czarnych dziur.

Metryka Reissnera‑Nordströma

W współrzędnych sferycznych (t, r, θ, φ) metryka przyjmuje postać

ds² = -f(r) c² dt² + f(r)⁻¹ dr² + r² (dθ² + sin²θ dφ²)

gdzie czynnik f(r) jest określony wzorem

f(r) = 1 - \frac{2GM}{c² r} + \frac{G Q²}{4\pi \varepsilon₀ c⁴ r²}.

Pierwszy składnik przedstawia płaską czasoprzestrzeń, drugi – efekt masy (tak jak w rozwiązaniu Schwarzschilda), a trzeci – wkład pola elektrycznego, wyrażony w jednostkach ładunku elektrycznego.

Horyzonty zdarzeń i struktura przyczynowa

Równanie f(r)=0 prowadzi do dwóch pierwiastków kwadratowych:

r_{\pm} = \frac{GM}{c²} \pm \sqrt{\left(\frac{GM}{c²}\right)² - \frac{G Q²}{4\pi \varepsilon₀ c⁴}} .

Dla Q² < 4π ε₀ G M² /c² istnieją dwa horyzonty: zewnętrzny r₊ i wewnętrzny r₋. W przypadku równowagi Q² = 4π ε₀ G M² /c² otrzymuje się tzw. ekstremalny czarną dziurę Reissnera‑Nordströma, w której oba horyzonty koincydują (r₊ = r₋). Gdy Q² przekracza tę wartość, rozwiązywanie nie posiada rzeczywistych pierwiastków i opisuje przestrzeń bez horyzontu zdarzeń – tak zwany „przypadek nadekstremalny”.

Właściwości fizyczne

Masowy parametr – masa czarnej dziury określa jej przyciąganie grawitacyjne w odległym polu.
Ładunek elektryczny – wprowadza dodatkowy pole Coulomba, które przeciwdziała grawitacji i wpływa na położenie horyzontów.
Temperatura Hawkinga – zależy od pochodnej f(r) w horyzoncie zewnętrznym:
```
T_H = \frac{\hbar c}{4π k_B}\, \frac{df}{dr}\bigg|_{r=r₊}
      = \frac{\hbar c}{4π k_B}\,
      \frac{r₊ - r₋}{r₊^{2}} .
```
W miarę zbliżania się do stanu ekstremalnego temperatura maleje do zera.
Stabilność – czarne dziury naładowane są podatne na emisję cząstek (np. pary elektron‑pozyton), co w długim okresie prowadzi do deewolucji ku rozwiązaniu Schwarzschilda.

Powiązane rozwiązania i koncepcje

Równanie Einsteina z tensorem pola elektromagnetycznego prowadzi nie tylko do metryki Reissnera‑Nordströma, ale także do innych rozwiązań, takich jak:

Rozwiązanie Kerr – opisuje obracającą się czarną dziurę bez ładunku;
Rozwiązanie Kerr‑Newman – najogólniejsze rozwiązanie obejmujące masę, moment pędu i ładunek;
Rozwiązanie Schwarzschilda – szczególny przypadek Q = 0.

Zastosowania i znaczenie

Mimo że czarne dziury o znaczącym ładunku elektrycznym nie są spodziewane w astrofizyce (neutralizacja w otoczeniu plazmy), rozwiązanie Reissnera‑Nordströma odgrywa kluczową rolę w badaniach teoretycznych:

Modelowanie teorii strun i badanie tzw. brany w kontekście AdS/CFT;
Analiza własności termodynamicznych czarnych dziur w kwantowej grawitacji;
Badania stabilności i rozpraszania pól w tle czarnej dziury (np. pole skalarne, pole spinorowe).

Wzmianki w literaturze

Najważniejsze pozycje zawierające omówienie tego rozwiązania to:

Wald, R. M. „General Relativity”, University of Chicago Press, 1984.
Misner, C. W., Thorne, K. S., Wheeler, J. A. „Gravitation”, W. H. Freeman, 1973.
Frolov, V. P., Novikov, I. D. „Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments”, Kluwer, 1998.

Powiązane pojęcia

Czarna dziura, Pole elektromagnetyczne, Przestrzeń‑czas, Horyzont zdarzeń, Ekstremalna czarna dziura.